Trong khi đại số phổ dụng cung cấp ngữ nghĩa cho một chữ ký, logic lại làm giàu cho cú pháp.

Một công thức bậc nhất được xây dựng từ các công thức nguyên tử (có dạng chẳng hạn như R(f(x,y),z) hay y = x + 1) bởi các phép nối logic ¬ , ∧ , ∨ , → {\displaystyle \neg ,\land ,\lor ,\rightarrow } và các lượng từ ∀ v {\displaystyle \forall v} , ∃ v {\displaystyle \exists v} . Một câu là một công thức bậc nhất sao cho mỗi biến đều bị lượng hóa bởi một lượng từ. Ta có các công thức φ (hoặc φ(x) để thể hiện rằng chỉ có x là một biến chưa được lượng hóa trong φ) và ψ như sau:

φ = ∀ u ∀ v ( ∃ w ( x × w = u × v ) → ( ∃ w ( x × w = u ) ∨ ∃ w ( x × w = v ) ) ) ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 , {\displaystyle {\varphi \;=\;\forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1,}} ψ = ∀ u ∀ v ( ( u × v = x ) → ( u = x ) ∨ ( v = x ) ) ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 1. {\displaystyle \psi \;=\;\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\neq 1.}

(Lưu ý rằng ta có một dấu bằng từ chữ ký và một dấu bằng từ logic.). Ta có thể gán cho các công thức này ý nghĩa toán học tương ứng. Chẳng hạn như trong σsmr-cấu trúc N {\displaystyle {\mathcal {N}}} của các số tự nhiên, một phần tử n thỏa mãn công thức φ khi và chỉ khi n là một số nguyên tố. Công thức ψ định nghĩa tính bất khả quy. Ta ký hiệu:

N ⊨ φ ( n ) ⟺ n {\displaystyle {\mathcal {N}}\models \varphi (n)\iff n} là một số nguyên tố. N ⊨ ψ ( n ) ⟺ n {\displaystyle {\mathcal {N}}\models \psi (n)\iff n} bất khả quy.

(Trên thực tế, hai công thức này có giá trị logic tương đương)

Một tập hợp T các câu được gọi là một lý thuyết bậc nhất. Một lý thuyết được gọi là thỏa mãn được nếu nó có một mô hình M ⊨ T {\displaystyle {\mathcal {M}}\models T} , tức là một cấu trúc (với một chữ ký phù hợp) thỏa mãn mọi câu của tập hợp T. Tính nhất quán của một lý thuyết thường được định nghĩa theo cú pháp, tuy nhiên theo định lý đầy đủ Godel, đối với logic bậc nhất, tính nhất quán tương đương với tính thỏa mãn được.

Một lý thuyết được gọi là có tính phạm trù nếu nó xác định một cấu trúc xê xích một đẳng cấu, tuy nhiên có một số vấn đề liên quan đến khả năng biểu thị của logic bậc nhất.